求一个复数的共轭复数时，保持实部不变，将虚部写成相反数。若复数记作 z=a+bi，其中 a、b 为实数，i 为虚数单位，则它的共轭复数记作 ar z=a-bi。掌握这个规律后，看到任何复数都可以先识别实部和虚部，再按“实部原样保留、虚部符号反转”的方法写出共轭复数。
定义要点
- • 共轭复数是一成对出现的概念。
- • 两个复数若实部相等、虚部互为相反数，它们互为共轭复数。
- • 虚部用系数表示时，处理对象是 b；把 b 改成 -b 即可，i 的位置保持不变。
求法清单
- 1、把原复数整理成 a+bi 或 a-bi 的形式。
- 2、标出实部 a。
- 3、标出虚部系数 b。
- 4、保持实部 a 不变。
- 5、将虚部系数 b 改成 -b。
- 6、写出新的复数 a+(-b)i，简记为 a-bi。
- 7、若原复数已经是 a-bi，则得到 a+bi。
示例表
| 原复数 | 实部 | 虚部系数 | 共轭复数 | 处理说明 |
|---|---|---|---|---|
| 3+4i | 3 | 4 | 3-4i | 虚部 4 改成 -4 |
| 3-4i | 3 | -4 | 3+4i | 虚部 -4 改成 4 |
| 5+2i | 5 | 2 | 5-2i | 实部 5 保持 |
| -7+9i | -7 | 9 | -7-9i | 实部 -7 保持 |
| -2-3i | -2 | -3 | -2+3i | 虚部 -3 改成 3 |
| 6 | 6 | 0 | 6 | 虚部 0 保持 |
| 4i | 0 | 4 | -4i | 实部 0 保持 |
几何含义
在复平面上，复数 a+bi 与它的共轭复数 a-bi 关于实轴对称。实轴坐标保持为 a，虚轴坐标从 b 变为 -b，因此图形上表现为左右不变、上下换到对称位置。
使用场景
- • 复数除法中，常用分子分母同乘分母的共轭复数来得到标准形式。
- • 复数乘法中，(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2，得到实数结果。
- • 复数比较、化简、解方程时，共轭复数也是常用工具。
学习提示
处理题目时，先确认原复数的标准形式，再写出一对一的结果。看到加号就写减号，看到减号就写加号，实部保持原样。
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