【二项分布公式】在概率论与统计学中，二项分布是一种常见的离散概率分布，用于描述在固定次数的独立试验中，成功次数的概率分布。它适用于每次试验只有两种可能结果（如“成功”或“失败”）的情况，并且每次试验的成功概率相同。
一、二项分布的基本概念
定义：
设随机变量 $ X $ 表示在 $ n $ 次独立重复试验中成功的次数，每次试验成功的概率为 $ p $，失败的概率为 $ 1 - p $。则 $ X $ 服从参数为 $ n $ 和 $ p $ 的二项分布，记作：
$$
X \sim B(n, p)
$$
基本条件：
- 试验是独立的；
- 每次试验只有两个可能的结果（成功或失败）；
- 成功的概率 $ p $ 在每次试验中保持不变。
二、二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数（PMF）表示在 $ n $ 次独立试验中恰好发生 $ k $ 次成功的概率，其公式为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ C(n, k) $ 是组合数，表示从 $ n $ 次试验中选出 $ k $ 次成功的组合方式数目；
- $ p $ 是单次试验成功的概率；
- $ 1 - p $ 是单次试验失败的概率；
- $ k = 0, 1, 2, ..., n $。
三、二项分布的期望与方差
| 参数 | 公式 | 含义 |
| 期望（均值） | $ E(X) = np $ | 平均成功次数 |
| 方差 | $ Var(X) = np(1 - p) $ | 成功次数的波动程度 |
四、二项分布的应用场景
二项分布在实际生活中有广泛的应用，例如：
- 投掷硬币的正面次数；
- 产品质量检测中的合格品数量；
- 市场调查中支持某产品的顾客比例；
- 病毒检测中阳性结果的出现概率。
五、二项分布与伯努利分布的关系
二项分布可以看作是多个独立的伯努利试验的总和。若 $ X_1, X_2, ..., X_n $ 是相互独立的伯努利随机变量，每个变量取值为 1（成功）或 0（失败），且 $ P(X_i = 1) = p $，则：
$$
X = X_1 + X_2 + ... + X_n \sim B(n, p)
$$
六、二项分布的表格总结
| 项目 | 公式/说明 |
| 分布名称 | 二项分布 |
| 记号 | $ X \sim B(n, p) $ |
| 概率质量函数 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
| 期望 | $ E(X) = np $ |
| 方差 | $ Var(X) = np(1 - p) $ |
| 适用条件 | 独立试验、固定次数、两结果、概率恒定 |
| 应用实例 | 投掷硬币、产品质量检测、市场调研等 |
通过以上内容，我们可以清晰地理解二项分布的基本原理、公式表达及其实际应用。它是统计分析中不可或缺的基础工具之一。