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tan75度等于多少根号

2025-07-08 18:22:55

问题描述:

tan75度等于多少根号,蹲一个懂行的,求解答求解答!

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2025-07-08 18:22:55

tan75度等于多少根号】在三角函数中,tan75°是一个常见的角度值,通常需要通过三角恒等式或特殊角的组合来计算。75度可以拆分为45度和30度之和,利用正切的加法公式,可以推导出tan75°的精确表达式。

以下是关于tan75°的详细总结与计算过程:

一、tan75°的计算方法

我们使用正切的加法公式:

$$

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}

$$

令 $ A = 45^\circ $,$ B = 30^\circ $,则有:

$$

\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}

$$

已知:

- $ \tan 45^\circ = 1 $

- $ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $

代入公式得:

$$

\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}

$$

化简后得到:

$$

\tan 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}

$$

为了去掉分母中的根号,我们可以对分子分母同时乘以 $ \sqrt{3} + 1 $,即进行有理化处理:

$$

\tan 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}

$$

二、总结表格

角度 正切值(tan) 精确表达式
75° tan75° $ 2 + \sqrt{3} $

三、结论

tan75°的精确值为 $ 2 + \sqrt{3} $,这个结果可以通过三角恒等式推导得出,适用于数学计算和几何问题中。了解这一数值有助于更深入地理解三角函数的性质及其应用。

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