【tan75度等于多少根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度值，通常需要通过三角恒等式或特殊角的组合来计算。75度可以拆分为45度和30度之和，利用正切的加法公式，可以推导出tan75°的精确表达式。
以下是关于tan75°的详细总结与计算过程：
一、tan75°的计算方法
我们使用正切的加法公式：
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
$$
令 $ A = 45^\circ $，$ B = 30^\circ $，则有：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $ \tan 45^\circ = 1 $
- $ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $
代入公式得：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}
$$
化简后得到：
$$
\tan 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
为了去掉分母中的根号，我们可以对分子分母同时乘以 $ \sqrt{3} + 1 $，即进行有理化处理：
$$
\tan 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
$$
二、总结表格
| 角度 | 正切值（tan） | 精确表达式 |
| 75° | tan75° | $ 2 + \sqrt{3} $ |
三、结论
tan75°的精确值为 $ 2 + \sqrt{3} $，这个结果可以通过三角恒等式推导得出，适用于数学计算和几何问题中。了解这一数值有助于更深入地理解三角函数的性质及其应用。