【如何求函数连续区间】在数学分析中，函数的连续性是一个非常重要的概念。了解一个函数的连续区间，有助于我们更好地理解函数的性质，为后续的导数、积分等运算打下基础。本文将总结如何求函数的连续区间，并以表格形式进行归纳。
一、基本概念
函数连续：设函数 $ f(x) $ 在某点 $ x_0 $ 的邻域内有定义，若
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
$$
则称 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处连续。
连续区间：若函数 $ f(x) $ 在某个区间内的每一点都连续，则称该区间为函数的连续区间。
二、求函数连续区间的步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定函数的定义域。找出函数中所有可能不连续的点（如分母为零、根号下负数、对数底数非正等）。 |
| 2 | 分析函数的类型（如多项式、有理函数、三角函数、指数函数、对数函数等），根据其性质判断是否在定义域内连续。 |
| 3 | 对于存在分段定义或特殊点的函数，检查每个分段点处的左右极限是否相等，以及是否等于函数值。 |
| 4 | 将所有连续点连接起来，形成连续区间。 |
三、常见函数的连续性分析
| 函数类型 | 连续性分析 | 连续区间 |
| 多项式函数 | 在整个实数范围内连续 | $ (-\infty, +\infty) $ |
| 有理函数（如 $ \frac{P(x)}{Q(x)} $） | 在定义域内连续，即 $ Q(x) \neq 0 $ 的区间 | 排除使分母为零的点后的区间 |
| 根号函数（如 $ \sqrt{x} $） | 定义域为 $ x \geq 0 $，在该区间内连续 | $ [0, +\infty) $ |
| 对数函数（如 $ \log(x) $） | 定义域为 $ x > 0 $，在该区间内连续 | $ (0, +\infty) $ |
| 三角函数（如 $ \sin(x), \cos(x) $） | 在整个实数范围内连续 | $ (-\infty, +\infty) $ |
| 分段函数 | 需逐段分析，特别注意分段点处的连续性 | 各段连续区间及分段点处的连续情况 |
四、示例解析
例1：
函数 $ f(x) = \frac{1}{x - 2} $
- 定义域：$ x \neq 2 $
- 连续区间：$ (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) $
例2：
函数 $ f(x) = \begin{cases}
x^2 & x < 1 \\
2x + 1 & x \geq 1
\end{cases} $
- 分析 $ x = 1 $ 处的连续性：
- 左极限：$ \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 $
- 右极限：$ \lim_{x \to 1^+} 2x + 1 = 3 $
- 不相等，故不连续
- 连续区间：$ (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) $
五、总结
求函数的连续区间，关键在于：
1. 明确函数的定义域；
2. 判断是否存在不连续点（如间断点）；
3. 对于特殊函数或分段函数，需逐一验证连续性；
4. 最终确定函数的连续区间。
通过上述方法和步骤，可以系统地分析并确定一个函数的连续区间，为后续的数学分析提供坚实的基础。
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